Function Properties

反函数

Inverse Function

奇偶性

奇偶函数常见结论：
奇+奇=奇
奇×奇=偶
奇×偶=奇
奇+偶=非奇非偶函数
偶×偶=偶

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判断$y=x^4\sin x$的奇偶性

定义法解决.

$$\begin{array}{r}f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})\\ f(-x)=\ln (\sqrt{1+x^2}-x)=\ln (\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{1})\\ f(-x)=\ln (\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x})=-\ln (x+\sqrt{1+x^2})\\ \therefore \text{偶函数}\end{array}$$

复合函数的奇偶性

奇（奇）= 奇
奇（偶）= 偶
偶 (奇) = 奇

全奇则奇，遇偶则偶

sin(cosx) 偶函数
tan(sinx) 奇函数
tan(cosx) 偶函数
cos(cotx) 偶函数

$$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{偶}{奇}\Rightarrow 奇$$

题型一

小题（具体函数）：
判断函数的奇偶性$f(x)=x^4\sin x^3$
$x^4$为偶函数
$\sin (x^3)$外层sin是奇函数，内层$x^3$也就是奇函数，全奇则奇，所以$\sin (x^3)$为奇函数
奇函数乘上偶函数还是奇函数

---

判断函数$f(x)=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\cdot \sin x^2$的奇偶性
令$f(x)=e^x+e^{-x}$
$f(-x)=e^{-x}+e^x$
所以$f(x)=e^x+e^{-x}$是偶函数
$\sin x^2$外层sinx为奇函数，内层为偶函数，整体$\sin x^2$为偶函数
$偶函数\times 偶函数=偶函数$

---

$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$判断函数的奇偶性
$f(x)=x^{-2}(e^x-e^{-x})$
$x^{-2}$ 偶函数
令$f(x)=e^x-e^{-x}$

$$\begin{array}{r}f(-x)=e^{-x}-e^x\\ -f(-x)=e^x-e^{-x}\end{array}$$

$\therefore f(x)=-f(-x)$
所以函数为奇函数

$偶函数\cdot 奇函数=奇函数$

题型二

抽象函数，也可以用定义
设g(x)=f(x)+f(-x)，判断函数的奇偶性。
g(-x)=f(-x)+f(x)
g(x)=g(-x)
所以g(x)为偶函数

设f(x)在$x\in R$上为任意函数，则下列函数为偶函数的是（）
A. $f(x)-f(-x)$
设$g(x)=f(x)-f(-x)$，则$g(-x)=f(-x)-f(x)$，$g(x)=-g(-x)$，所以$f(x)-f(-x)$为奇函数

B. $[f(x){]}^2$

$$\begin{array}{r}令g(x)=[f(x){]}^2\\ g(-x)=[f(-x){]}^2\\ 无法判断f(x)是否等于f(-x)\end{array}$$

C.$|f(x)|$

$$\begin{array}{r}令g(x)=|f(x)|\\ g(-x)=|f(-x)|\\ 无法判断f(x)是否等于f(-x)\end{array}$$

D.$f(|x|)$

$$\begin{array}{r}令g(x)=f(|x|)\\ g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)\\ 所以g(x)=f(|x|)为偶函数\end{array}$$

求解函数表达式

整体思想直接代入

已知$f(x)=e^x,g(x)=\sin x$求$f[g(x)]$

$$f[g(x)]=e^{g(x)}=e^{\sin x}$$

---

求分段函数

整体思想

换元法

设$f\left(\frac{1}{x}-1\right)=\frac{x}{2x-1}$，求f(x)
令$t=\frac{1}{x}-1$

$$\begin{array}{r}tx=1-x\\ tx+x=1\\ x(1+t)=1\\ x=\frac{1}{1+t}\\ \therefore f(t)=\frac{\frac{1}{t+1}}{2\frac{1}{t+1}-1}=\frac{1}{1-t}\\ f(x)=\frac{1}{1-x}\end{array}$$

---

设函数$g(x)=1-2x$，$f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2}$，求$f\left(\frac{1}{2}\right)$

$$\begin{array}{r}令t=g(x)=1-2x\\ 2x=t-1\\ x=\frac{t-1}{2}\\ 现在f(t)=\frac{1-{\left(\frac{1-t}{2}\right)}^2}{{\left(\frac{1-t}{2}\right)}^2}\\ f(t)=\frac{1}{{\left(\frac{1-t}{2}\right)}^2}-1\\ f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\frac{1}{16}}-1=16-1=15\end{array}$$

配凑法

$$\begin{array}{r}\text{Let}f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2},\text{then find}\underset{x\to 0}{\lim }f(x)\\ \text{since}{x}^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2\\ \therefore f\left(x+\frac{1}{x}\right)={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2\\ f(x)=x^2-2\\ \therefore \underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2-2=-2\end{array}$$

Drawing 2026-03-02 19.18.47.excalidraw

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与积分结合

Drawing 2026-03-26 16.24.03.excalidraw

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定义域

与函数$f(x)=2x$的图像完全相同的是（）
A.$\ln e^{2x}$

$$\begin{array}{r}\ln e^{2x}={\log }_e{e}^{2x}=2x(e^{2x}>0,x\in R)\\ 故选A\end{array}$$

B.$\sin (\arcsin (2x))$

$$\begin{array}{r}\arcsin t的定义域为t\in [-1,1]\\ -1\le t\le 1\\ \arcsin 2x的定义域:-1\le 2x\le 1\\ \therefore -\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\end{array}$$

定义域不同所以错误

C. $e^{\ln 2x}$

$$\begin{array}{r}{e}^{\ln 2x}=e^{{\log }_{e}2x}=2x\\ 2x>0\\ x>0\\ 定义域不同排除\end{array}$$

D.$\arcsin (\sin 2x)$

$$\begin{array}{r}\sin 2x,x\in R,y\in [-1,1]\\ \arcsin \square ,x\in [-1,1]\\ 定义域不同排除\end{array}$$

Drawing 2026-03-02 19.04.07.excalidraw

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对称性

普通轴对称

Drawing 2026-03-09 16.44.22.excalidraw

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$$\begin{array}{r}f(a+x)=f(a-x)\\ 对称轴x=a\\ \\ 或者另一种情况\\ f(a+x)=f(b-x)\\ 对称轴x=\frac{a+b}{2}\end{array}$$

结论：若$y=f(x)$满足$f(x)=f(a+b-x)$，则$y=f(x)$自身关于$x=\frac{a+b}{2}$对称

---

函数$y=f(x)$与$y=f(a+b-x)$关于$x=\frac{a+b}{2}$轴对称。

f(x)=x^2
f(x)=(1+3-x)^2

如图两个函数关于$x=2$对称

周期性

若$f(x)$以T为周期，则$f(\omega x+b)$的周期为$\frac{T}{|\omega |}$
for example:

$$\begin{array}{r}f(x)=A\sin (\omega x+\theta )\\ T=\frac{2\pi }{|w|}\end{array}$$

另一个例子

$$\begin{array}{r}\tan x以\pi 为周期\\ f(x)=A\tan (\omega x+\theta ),T=\frac{\pi }{|w|}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}f(x)={\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x\\ \therefore T=\frac{(2\pi )}{2}\end{array}$$

---

$$\begin{array}{r}y=\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{3}\\ \sin \frac{x}{2}的周期为\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi \\ \sin \frac{x}{3}的周期为\frac{2\pi }{\frac{1}{3}}=6\pi \\ 取最小公倍数\\ \therefore T=12\pi \end{array}$$

最小公倍数：

$$\begin{array}{r}2,4\Rightarrow 4\\ 2,3\Rightarrow 6\\ 这个最小公倍数都能把这两个数整除\end{array}$$ $$\begin{array}{r}f(x)=\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{3}\\ 同样的道理\end{array}$$