排列组合

公式

项目	符号	定义
排列	$A_n^1$​	从 n 个中选 1 个，顺序重要	谁站讲台	共有n种排法
组合	$C_n^1$	从 n 个中选 1 个，顺序不重要	选一个人吃苹果	共有n种排法
$A_n^0=1$
$C_n^0=1=C_n^n$

例题

5名学生随机报名参加3项志愿服务，没人限报1项，则他们都报同一项的概率为

5名学生参加3项服务，以学生的角度，没人有3种选法，则总共有$3^5$种选法。都报同一项的情况有3种：第一种情况三个人全报了志愿1，第二种情况三个人全报了志愿2，第三种情况三个人全报了志愿3。

$$\therefore \Omega =\frac{3}{3^5}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$$

6名大学生站成一排看街头艺人耒演，小帅和小美关系甜蜜，且必须相邻站，问有多少种站法？

A B 小帅小美 C D
小帅和小美看成一个整体

$$A_5^5{A}_2^2$$

某景区是世界闻名的旅游景点，有三家相约一起去游玩，第一家两口人，第二家、第三家分别三口人。三家人站成一排照相，每家人都必须排在一起，则共有多少种方法

第一家：A1,A2
第二家：B1，B2，B3
第三家：C1，C2，C3
三家人分别看成一个整体

$$A_3^3\cdot A_2^2{A}_3^3{A}_3^3$$

甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有

甲、乙、丙、丁、戊 丙丁看成一整体
先算所有情况:

$$A_4^4{A}_2^2$$

减去甲站在两端的情况：
甲有2种排法，剩余三个位置全排列，在让丙丁全排列
$2\cdot A_3^3{A}_2^2$

有4个去杭州旅游和2个去温州旅游的名额分配给6个人，每个人有且只能得到1一个名额，其中甲和乙要去同一个城市，则不同的分配方法有多少种？

以人的角度出发，如果甲和乙都去温州，则它们之间有$C_2^2$种选法（从2个地方选2个）；其余4人有$C_4^4$种选法。
如果甲和乙都去杭州，则它们之间有$C_2^2$种选法（从2个地方选2个）；其余4人有$C_4^2$种选法，从 杭州1 杭州2 温州1 温州2 这四张票选2张。

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把同样三张票分给10个人中的3个，每人一张，则分法有多少种？

$C_{10}^3$
如果票是不同的（比如票编号1、2、3不同），那就需要考虑安排，而且那时应该乘以 3!($A_3^3$)

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有4名队员和1名教练组成一排合影，教练不排两端，有多少种不同的排法？
教练有$C_3^1$种选法，队员有$A_4^4$种排法，所以总共
$3\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=72$

若连续抛两枚质地均匀的骰子，则“出现的点数之和不小于10”的概率为？
总共有$6\cdot 6=36（种）$情况。不小于10也就是大于等于10的情况。
$(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),(4,6)$
$\therefore 概率=\frac{1}{36}$---
有3名男队员和4名女队员，从中选两人参加比赛，有多少种选法？
$C_3^2{C}_4^2=3\cdot 6=18$

题型总结

5名同学报名参加4个活动小组，每人限报1个活动小组不同的报名方法种数为
$4^5$（每个人有4种选法）

用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有？
末尾必须为偶数，所以从2，4，6挑一个$C_3^1$
前面四个数进行全排列$A_4^4$
所以共有：$A_4^4{C}_3^1$

如图，一只蚂蚁在A处觅食（蚂蚁只能走黑色实线），B处有一块巧克力
蚂蚁找到巧克力的最短路径爬法有（)

$A\to B\{\begin{array}{l}向右走4步\\ 向上走3步\end{array}$
所以从7种情况选1种$C_7^4$，在排列剩余的三步$C_3^3$

总有$C_7^4{C}_3^3$