点到直线距离公式

对于一条直线，例如$3x+4y-12=0$ 向量$\vec{a}=(3,4)$必定是这条直线的法向量。

PQ就是PG在法向量上的投影。
$|PQ|=\frac{|\overrightarrow{PG}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
因为$(x_1,y_1)$在直线上 $A{x}_1+B{y}_1=-C$
所以上式变为
$\frac{|A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|-A{x}_0-B{y}_0-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
得到最终公式：

两条直线之间的距离公式

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|-C_1+C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

必须在系数相等的情况下用