n 阶行列式

由 $n^{2}$ 个数 $a_{ij} (i, j = 1, 2, ..., n)$ 排成n行n列，两边加竖线，得到如下形式

a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots ... ... a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn},

称为n阶行列式，可简记为 $∣ a_{ij} ∣_{n \times n}$

对于一个三阶行列式

(- 1)^{t (123)} a_{11} a_{22} a_{33} + (- 1)^{t (231)} a_{12} a_{23} a_{31} + (- 1)^{t (312)} a_{13} a_{21} a_{32} (- 1)^{t (132)} a_{11} a_{23} a_{32} + (- 1)^{t (213)} a_{12} a_{21} a_{33} + (- 1)^{t (321)} a_{13} a_{22} a_{31}

我们设列标为 $P_{1} P_{2} P_{3}$ 可写为

D_{3} = P_{1} P_{2} P_{3} \in S_{3} \sum (- 1)^{t (P_{1} P_{2} P_{3})} a_{1} P_{1} a_{2} P_{2} a_{3} P_{3}

可以发现，

所以n阶行列式按行展开

a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{m} = j_{1} j_{2} \dots j_{n} \sum (- 1)^{N (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}} .

n阶行列式按列展开
5. 列标取标准排列
6. 行标取排列的所有可能
7. 符号由行标排列逆序数的奇偶性决定
8. 不同行不同列取n个元素相乘

i_{1} i_{2} ... i_{n} \sum (- 1)^{N (i_{1} i_{2} \dots i_{n})} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \dots a_{i_{n} n}

Quartz 4