Taylor's Formula

泰勒公式推导

我们知道在在函数的微分中$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
本质用$x-x_0$这个一次表达式来近似f(x)，但是准确率不高。

假设：

$$\begin{array}{r}{P}_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n\approx f(x)\\ P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+余项=f(x)\\ 当x=x_0\\ a_0=f(x_0)\end{array}$$

确定系数$a_i$，确保f(x)和多项式函数$P_n(x)$在$x_0$的函数值、直到n阶导数值相等。

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x_0)=P_n^{\prime }(x_0)=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0{)}^2+\cdots +n{a}_n(x-x_0{)}^{n-1}\\ 把x=x_0代进去\\ 得到a_1=f^{\prime }(x_0)\\ \cdots \end{array}$$

类推得到最终形式

$$\begin{array}{r}f(x)\approx f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0{)}^n\\ f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1},\xi 介于x与x_0之间\\ 或者R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)，R_n(x)是(x-x_0)的高阶无穷小（趋于0的速度快）\end{array}$$

泰勒公式

$$\begin{array}{l}f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)\\ R_n(x)=\{\begin{array}{l}o(x-x_0{)}^n\\ \frac{f^{(n+1)(\xi )}}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1},(\xi \text{ 在 }{x}_0\text{与 }x\text{ 之间})\end{array}\end{array}$$

麦克劳林公式

在泰勒公式中，在$x_0=0$处展开

$$\begin{array}{r}f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)\\ R_n(x)=\{\begin{array}{ll}o(x^n),& x\to 0\\ \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1},& \xi \in (0,x)\end{array}\end{array}$$

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把$f(x)=e^x$展开成带有拉格朗日余项形式的n阶麦克劳林公式

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)=\cdots =f^{(n)}(x)=e^x\\ f^{\prime }(0)=1=f^{\prime \prime }(0)=\cdots =f^{(n)}(0)\\ e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}{x}^{n+1},其中\xi 介于0和x之间\end{array}$$

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把$f(x)=\sin x$展开成带有拉格朗日余项形式的n阶麦克劳林公式

$$\begin{array}{rl}f(0)& =0\\ f^{\prime }(x)& =\cos x,f^{\prime \prime }(x)=-\sin x,f^{\prime \prime \prime }(x)=-\cos x,f^{(4)}(x)=\sin x\\ f^{\prime }(0)& =1,f^{\prime \prime }(0)=0,f^{\prime \prime \prime }(0)=-1,f^{(4)}(0)=0\\ & 奇数阶导正负交替，偶数阶导系数为0\\ \sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+1}(x)\end{array}$$

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sinx求导后 cosx

$$\begin{array}{r}\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+R_{2n}(x)\end{array}$$

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$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots +\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}+R_n(x)$$

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$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\dots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+R_n(x)$$

记忆方法

第一组

$e^x$增长快，所以全为正；sin 是奇函数，只有奇次，并且有交错项使其震荡；cos 是偶函数，只有偶次，并且有交错项使其震荡。（可以让 sinx等式两边求导而来）

$$\begin{array}{rl}{e}^x& =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ \sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})\\ \cos x& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})\end{array}$$

第二组

1+x 系列（等比组）

$$\begin{array}{r}{S}_n=a_1+\cdots +a_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\ 当|q|<1,n\to \infty ,\\ \sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=\frac{a}{1-q}\\ 对于1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+o(x^n)\\ a_1=1,q=x\\ \therefore \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+o(x^n)\end{array}$$

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$$\begin{array}{r}\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)\end{array}$$

两边积分得

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}+o(x^n)$$

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$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+o(x^n)\\ & \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)\\ & \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}+o(x^n)\end{array}$$

第三组

$$\begin{array}{r}\sin x=x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)\\ \arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)\\ \tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)\\ \arctan x=x-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)\end{array}$$

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（第一、二组）如何判断第一项，代入x=0，如果函数值等于1则就是1，如果等于0，那么第一项就是x。
只有ln(1+x)分母没有阶乘。

幂级数展开

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n,x\in (-1,1)\\ \sum _{n=1}^{\infty }{x}^n=x+x^2+x^3+\cdots +x^n+\cdots =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x(1-x^n)}{1-x}\end{array}$$

因为

综上，等比级数$|q|<1$，级数收敛；$|q|\ge 1$，级数发散

Link to original

得到

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n,x\in (-1,1)=\frac{x}{1-x}\end{array}$$

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$$\begin{array}{r}x\in (-1,1)\\ \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n\\ \frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n\\ \frac{x}{1-x}=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n\end{array}$$

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$$\begin{array}{r}x\in (-\infty ,+\infty )\\ e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\\ \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\end{array}$$

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$$\begin{array}{r}x\in (-1,1]\\ \ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}\end{array}$$

用泰勒公式 解释等价无穷小

$$\begin{array}{r}{e}^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}{x}^{n+1},其中\xi 介于0和x之间\\ e^x\approx 1+x\\ e^x-1\approx x\end{array}$$ $$\begin{array}{r}x\to 0\\ \sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ x-\sin x\approx x-\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)\approx \frac{x^3}{6}\\ 1-\cos x\approx 1-\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)\approx \frac{x^2}{2}\end{array}$$

求极限

常用泰勒（麦克劳林）公式：$x\to 0$

$$\begin{array}{rlrl}& \sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)& & \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ & \tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)& & \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ & \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)& & \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ & {\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)& & (1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)\end{array}$$

展开到第几项？
上下同阶原则：分母$x^k$，分子把$x^k$能出现的所有情形都展出来。
幂次取低原则：$f(x)\pm g(x)$,f(x)与g(x)同步展开到不抵消最低次项。

比如：f(x)展开后为x，g(x)展开后也为x，两个抵消了，那就继续展，变为类似的$\left(x-\frac{1}{2}{x}^2\right)-\left(x+\frac{1}{3}{x}^2\right)$形式。

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求极限${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin x^3}$
分母先用等价无穷小。

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left[x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)\right]-x\left[1-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)\right]}{x^3}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)-x+\frac{1}{2}{x}^2-xo(x^2)}{x^3}\\ \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)+\frac{1}{2}{x}^2-o(x^3)}{x^3}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)}{x^3}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{3}{x}^3}{x^3}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{o(x^3)}{x^3}\\ =\frac{1}{3}\end{array}$$

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用等价解

整个函数是乘除因子，并且极限非0，就可以提前带入。

Link to original

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x\cos x}{\sin x^3}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x(\tan x-x)}{x^3}\\ 非零因子直接代\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x^3}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(\frac{1}{3}{x}^3\right)}{x^3}=\frac{1}{3}\end{array}$$

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洛必达

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x\cos x}{\sin x^3}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-(\cos x+x\cdot (-\sin x))}{3x^2}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\sin x}{3x^2}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{3x}=\frac{1}{3}\end{array}$$

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$$\begin{array}{r}\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ \square \to 0\\ \ln (1+\square )=\square -\frac{{\square }^2}{2}+\frac{{\square }^3}{3}+\cdots \end{array}$$

上下同阶原则：分母$x^k$，分子把$x^k$能出现的所有情形都展出来。

$$\begin{array}{l}{\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)\ln (1-x)+x^2}{x^4}\\ \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ \ln (1-x)=-x-\frac{(-x{)}^2}{2}+\frac{(-x{)}^3}{3}+o(x^3)\\ {\lim }_{x\to 0}\frac{[x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)][-x-\frac{(-x{)}^2}{2}+\frac{(-x{)}^3}{3}+o(x^3)]+x^2}{x^4}\end{array}$$

这个式子

1. 先看乘出来的最低项，2次项

$$\begin{array}{r}x\cdot (-x)=-x^2\end{array}$$

2. 再看3次项

$$\begin{array}{r}x\cdot -\frac{(-x{)}^2}{2}=-\frac{x^3}{2}\\ -\frac{x^2}{2}\cdot (-x)=\frac{x^3}{2}\end{array}$$

3. 再看4次项

$$\begin{array}{r}x\cdot \frac{(-x{)}^3}{3}=-\frac{1}{3}{x}^4\\ -\frac{x^2}{2}\cdot -\frac{(-x{)}^2}{2}=\frac{x^4}{4}\\ \frac{x^3}{3}\cdot (-x)=-\frac{x^4}{3}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left[-x^2-\frac{x^3}{2}+\frac{x^3}{2}-\frac{1}{3}{x}^4+\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^4+o(x^4)\right]+x^2}{x^4}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{3}{x}^4+\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^4}{x^4}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{4}{12}{x}^4+\frac{3}{12}{x}^4-\frac{4}{12}{x}^4}{x^4}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{5}{12}{x}^4}{x^4}\\ & =-\frac{5}{12}\end{array}$$

高考比大小

无穷小的简单运算规则

$$\begin{array}{lc}{\lim }_{x\to 0}\frac{x\cdot o(x^2)}{x^3}& ={\lim }_{x\to 0}\frac{o(x^3)}{x^3}=0\\ {\lim }_{x\to 0}\sin x\cdot o(x)& =0\\ {\lim }_{x\to 0}\frac{o(x^2)+o(x^3)}{x^2}& ={\lim }_{x\to 0}\frac{o(x^2)}{x^2}=0\\ {\lim }_{x\to 0}\frac{o(x)\cdot o(x^2)}{x^3}& ={\lim }_{x\to 0}\frac{o(x^3)}{x^3}=0\\ {\lim }_{x\to 0}\frac{3o(x^2)-5o(x^2)}{x^2}& ={\lim }_{x\to 0}\frac{o(x^2)}{x^2}=0\end{array}$$

题目

设f(x)在[-1,1]上具有二阶连续导数，且f(0)=0

1. 写出f(x)的带拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式。
   泰勒公式在x=0处展开，展开到1阶，余项写到二阶

$$\begin{array}{rl}f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}+\cdots +\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1},& \xi \in (0,x)\end{array}$$

针对本题，阶数：1阶（即n=1）

$$\begin{array}{r}f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}{x}^2,\xi \in (0,x)\end{array}$$

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写出$f(x)=x^2\ln x$在x=1处带有拉格朗日余项的二阶泰勒公式。
展开到二阶，余项写到三阶。

$$\begin{array}{r}f(x)=f(1)+\frac{f^{\prime }(1)}{1!}(x-1)+\frac{f^{\prime \prime }(1)}{2!}(x-1{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}(x-1{)}^3,\xi \in (1,x)\end{array}$$

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设${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$，且$f^{\prime \prime }(x>0)$

1. 将f(x)展开成带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式。

f(x)展开到一阶，余项写到二阶

$$\begin{array}{r}f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}(x-x_0{)}^2,\xi \in (x_0,x)\end{array}$$

将f(x)展开成带拉格朗日余项的二阶麦克劳林公式。

$$\begin{array}{r}f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{(3)}(\xi )}{3!}(x-x_0{)}^3,\xi \in (x_0,x)\end{array}$$

这道题是麦克劳林公式所以 $x_0=0$

$$\begin{array}{r}f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}{x}^2,\xi \in (0,x)\end{array}$$

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求函数$f(x)=\tan x$的带有配亚诺余项的3阶麦克劳林公式
（余项写到4阶）

$$\begin{array}{l}f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)\\ (\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x,(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x\\ f(x)=\tan x\\ f^{\prime }(x)={\sec }^{2}x\\ f^{\prime \prime }(x)=2\sec x\cdot (\sec x\tan x)=2{\sec }^{2}x\tan x\\ f^{(3)}(x)=2(2{\sec }^{2}x\tan x\cdot \tan x+{\sec }^{2}x{\sec }^{2}x)=2(2{\sec }^{2}x{\tan }^{2}x+{\sec }^{4}x)\\ f(0)=0\\ f^{\prime }(0)=1\\ f^{\prime \prime }(0)=0\\ f^{(3)}(0)=2(0+1)=2\\ f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)\cdot x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}{x}^3+o(x^3)\\ =x+\frac{2}{6}{x}^3+o(x^3)\\ \therefore f(x)=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)\end{array}$$

证明题

设$f^{\prime \prime }(x)>0$，当$x\to 0$时，f(x)与x是等价无穷小，证明：当$x\ne 0$时，f(x)>x。

证明函数不等式，是在一个整体形态$x\in (-\infty ,+\infty )$，用拉格朗日余项。

f(x)与x是等价无穷小

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$$ $$\begin{array}{r}\therefore f(0)=0\\ f^{\prime }(1)=1\\ 在x=0处展开\\ \therefore f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}{x}^2,\xi \in (0,x)\\ =x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}{x}^2,\xi \in (0,x)\\ \therefore f(x)>x\end{array}$$