求n项和

适用条件：无穷项求和型极限
使用步骤：

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + n - 1} + \frac{1}{n ^{2} + n - 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n - n})

看出有n项，也就是有无穷项
$\frac{1}{n ^{2} + n - 1}$ 为最小项
$\frac{1}{n ^{2} + n - n}$ 为最大项
分母越小，值反而越大

\frac{1}{n ^{2} + n - 1} \cdot n \leq \frac{1}{n ^{2} + n - 1} + \frac{1}{n ^{2} + n - 2} + \dots \frac{1}{n ^{2} + n - n} \leq \frac{1}{n ^{2} + n - n} \cdot n

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{n ^{2} + n + 1} = 0$

n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2}} = 0

由夹逼定理可知， $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n ^{2} + n - 1} + \frac{1}{n ^{2} + n - 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n - n}) = 0$

证明数列极限 $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n}) = 1$

\frac{1}{n ^{2} + n} \cdot n \leq (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n}) \leq \frac{1}{n ^{2} + 1} \cdot n n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2} + n} = 1 n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2} + 1} = 1 由夹逼定理得 n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n}) = 1

n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2} + n} 分母大头是 n^{2}, n 忽略不计, n^{2} = n ∴ n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2} + n} = 1

$lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n})$

\frac{n}{n + n} \leq \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n} \leq \frac{n}{n + 1} n \to \infty lim \frac{n}{n + n} = 1 n \to \infty lim \frac{1}{n + 1} = 1 由夹逼定理得 n \to \infty lim (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n}) = 1

对于这个极限抓大头 n \to \infty lim \frac{n}{n + n} = n \to \infty lim \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{n}{n}} n \to \infty lim \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1 因为 n 是次方最高的，可以简写为 \frac{n}{n} = 1, n 不要了

如何跟定积分定义区分

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + n + 1} + \frac{2}{n ^{2} + n + 2} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n + n}) = n \to \infty lim i = 1 \sum n \frac{i}{n ^{2} + n + i}

这道题， $n^{2}$ 和 $i$ 不齐次，考虑用夹逼准则

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2} + n + n} < i = 1 \sum n \frac{i}{n ^{2} + n + i} < \frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2} + n + 1}