定义

设 ${x_{n}}$ 为一数列

\forall ϵ > 0, \exists N \in N^{*}, n > N, ∣ x_{n} - a ∣ < ϵ

则称a为数列的极限。

解释：
设 ${x_{n}}$ 为一数列，若存在常数a，对于任意给定的 $ϵ > 0$ (不论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N，恒有

∣ x_{n} - a ∣ < ϵ

则称a为数列的极限。

如果数列 $u_{n}$ 对于每一个正整数n,都有 $u_{n + 1} > u_{n}$ ,则称数列 $u_{n}$ 为单调递增数列.类似地,如果数列 $u_{n}$ 对于每一个正整数n,都有 $u_{n + 1} < u_{n}$ ，则称数列 $u_{n}$ 为单调递减数列。

如果对于数列 $u_{n}$ ，存在一个正的常数M，都有 $∣ u_{n} ∣ \leq M$ ，则称该数列为有界数列。

(单调有界定理)单调有界数列必有极限.
(有界性)若 $n \to \infty lim u_{n}$ 存在,则 $u_{n}$ 必为有界数列.

无穷大与无界的关系

令 a_{n} = 1, 0, 2, 0, 3, 0, \dots

这个数列无界，但是

n \to \infty lim a_{2 n - 1} = \infty n \to \infty lim a_{2 n} = 0

不是步步高升所以极限不存在

无穷大 \Rightarrow 无界 无界 \Rightarrow 无穷大

证明数列 $2, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \frac{3}{4}, \dots, \frac{n + ( - 1 ) ^{n - 1}}{n}, \dots$ 的极限为1

n \to \infty lim \frac{n + ( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = n \to \infty lim 1 + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

证明，套模板

\forall ϵ > 0, 要使 ∣ x_{n} - 1∣ < ϵ ∣1 + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} - 1∣ < ϵ ∣ \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} ∣ < ϵ \frac{1}{n} < ϵ n > \frac{1}{ϵ} ∴ 取 N = [\frac{1}{ϵ}] + 1 则当 n > N ∣ x_{n} - 1∣ < ϵ ∴ n \to \infty lim X_{n} = 1 ，得证

证明 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

\forall ϵ > 0, 要使 ∣ \frac{1}{n} - 0∣ < ϵ \frac{1}{n} < ϵ n > \frac{1}{ϵ} 取 N = [\frac{1}{ϵ}] + 1 即 \exists N = [\frac{1}{ϵ}] + 1 则当 n > N ∣ X_{n} - 0∣ < ϵ ∴ n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0