Essential Math Formulas

Must-know Math Formulas
Key Math Formulas

等价无穷小

see: 常用等价无穷小公式

渐近线

斜渐近线y=ax+b

$$\begin{array}{rl}a=& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\\ b=& [\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)-ax]\end{array}$$

导数

$$\begin{array}{l}(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}\\ (\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x\\ (\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x\\ (\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x\\ (\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x\\ (\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}$$

极值

极值点的出处

1. $f^{\prime }(x)=0$的点，也就是驻点
2. $f^{\prime }(x)$不存在的点（无定义），也就是不可导点

极值的判断：

• 利用单调性（画图）
• 利用$f^{\prime \prime }(x_0)$判断（前提$f^{\prime }(x)=0$）
  • $f^{\prime \prime }(x_0)<0\Rightarrow \text{极大值}$
  • $f^{\prime \prime }(x_0)>0\Rightarrow \text{极小值}$

拐点

拐点：曲线凹凸性发生改变的点。记$[x_0,f(x_0))$，注意这是一个坐标。一般拐点为$f^{\prime \prime }(x)=0$或$f^{\prime \prime }(x)$不存在

Link to original

参数方程求导

形如$\{\begin{array}{l}y=f(t)\\ x=g(t)\end{array}$

$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}\\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{(\frac{dy}{dx}{)}^{\prime }}{\frac{dx}{dt}}=\frac{{\left({\frac{dy}{dx}}^{\prime }\right)}_t}{x_t^{\prime }}\end{array}$$

积分

$$\begin{array}{l}\\ 幂函数：\\ \int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C\\ \int -\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{x}+C\\ \int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x}+C\\ \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C\\ \int a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}{a}^x+C\\ \int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C\\ \int {\csc }^{2}dx=-\cot x+C\\ \int \sec x\tan xdx=\sec x+C\\ \int \csc x\cot xdx=-\csc x\\ \int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C\\ \int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C\end{array}$$

\begin{aligned}
\int \frac{1}{x-a}d(x-a)=\ln|x-a|+C\\
\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\left(a>0\right)\\
\int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C\left(a>0\right)\\
\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\left(a>0\right)
\end{aligned}

Link to original

求体积

X型图绕X轴旋转

$$V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$$

Y型图绕Y轴旋转

$$\begin{array}{r}V=\pi {\int }_c^d{f}^2(y)dy\end{array}$$

X型图绕Y轴旋转

$$V=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$$

Y型图绕X轴旋转

$$V=2\pi {\int }_c^{d}y\cdot \varphi (y)dy$$

三角函数

$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x={\left(\frac{1}{\cos x}\right)}^2$
$1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$
${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2};{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

$\cos 2\alpha =\{\begin{array}{l}{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ 2{\cos }^2\alpha -1\\ 1-2{\sin }^2\alpha \end{array}$

三角代换

利用三角函数平方和公式：去掉含$x^2$的根式
条件：含$x^2$的根式$\sqrt{a+x^2}$

1. 含$\sqrt{a^2+x^2}$，令$x=a\tan t$
2. 含$\sqrt{a^2-x^2}$，令$x=a\sin t$
3. 含$\sqrt{x^2-a^2}$，令$a=\sec t$

万能公式 积分

万能代换公式，令$u=\tan \frac{x}{2}$

$$\begin{array}{r}\sin x=\frac{2u}{1+u^2},\\ \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\\ dx=\frac{2}{1+u^2}du\end{array}$$

完美适用sinx，cosx仅一次情况

微分方程

一阶微分方程解题方法

flowchart TD
    A[一阶] --> B[① 线性：公式]
    B --> C[非线性]

    C --> D[② 可分离变量]
    D --> D1["y' = f(x)g(y)"]
    D1 --> D2[否]

    D2 --> E[③ 齐次型]
    E --> E1["y' = g(y/x)"]
    E1 --> E2[否]

    E2 --> F["④ 其他类型"]
    F --> F1[1° *伯努利]
    F --> F2["2°关于 x(y)"]
    F --> F3[3° 换元]

一阶线性微分方程通解

$$\begin{array}{r}{y}^{\prime }+P(x)y=Q(x)\\ 通解为：\\ y=e^{-\int P(x)dx}\cdot \left[\int e^{\int P(x)dx}\cdot Q(x)dx+C\right]\end{array}$$

二阶齐次线性微分方程通解

$$\{\begin{array}{ll}1:r_1\ne r_2& ,y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}\\ 2:r_1=r_2& ,y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}\\ 3:r_{1,2}=a\pm bi& ,y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)\end{array}$$

泰勒公式

$$\begin{array}{l}x\in (-1,1)\\ \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n\\ \frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n\\ \frac{x}{1-x}=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n\end{array}$$

---

$$\begin{array}{rl}& x\in (-\infty ,+\infty )\\ & e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\\ & \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ & \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\end{array}$$

---

$$\begin{array}{rl}& x\in (-1,1]\\ & \ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}\\ & x\in [-1,1)\\ & -\ln (1-x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}\end{array}$$